4.3 SERIESDE POTENCIA

Series de potencias

Series De Potencia Series de potencias Convergencia de las series de potencias Definición Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n. El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n. En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge.

Una serie del tipo:

+ + + +K+ n +K

n a a x a x a x3 a x

3

2

0 1 2

ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes , , , , , . 0 1 2 K n K a a a a

constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias.

A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

+ ( − )+ ( − ) + ( − ) +K+ ( − )n +K

n a a x a a x a a x a 3 a x a

3

2

0 1 2

donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos

que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una

serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

x − a = x'

En lo que concierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que

las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.
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Proyecto e-Math 13

Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)