4.1 DEFINICION DE SERIES

4.1 Definición de seria. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita.

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como  

donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,      .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

Serie finita

x_i = 0 para todo i > n y y_i = 0 para todo i > m. En este caso el producto de

Cauchy de   

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

§  Primer ejemplo. Para alguna      

                 por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy